阿莱悖论
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请在以下两个选项之间做出选择：
1A. 必定获得 $24,000。
1B. 有 33/34 的概率赢得 $27,000，有 1/34 的概率一无所获。
哪一个看起来更符合直觉？而在现实生活中，你会选哪一个？现在，再看看下面这两个选项：你直觉上更偏好哪一个，而在现实生活中你又会选哪一个？
2A. 有 34% 的概率赢得 $24,000，有 66% 的概率一无所获。
2B. 有 33% 的概率赢得 $27,000，有 67% 的概率一无所获。
阿莱悖论——这是 Allais 自己的叫法，虽说它其实并不真是个悖论——是最早在实验中暴露出来的、决策理论与人类推理之间的冲突之一，时间是 1953 年。1 我为便于计算，对它做了一点小改动，但核心问题并没有变：大多数人偏好 1A 胜过 1B，而且大多数人偏好 2B 胜过 2A。事实上，在同一被试内部比较中，多数被试会同时表达出这两种偏好。
这之所以成问题，是因为第二组选择，其实就等于以三分之一左右的概率去玩第一组选择。也就是说，2A 等价于以 34% 的概率玩赌局 1A，而 2B 等价于以 34% 的概率玩 1B。
用来证明「一致」决策者可以被视为在最大化期望效用的公理之一，是独立性公理：如果 X 严格优于 Y，那么以概率 P 获得 X、并以概率 (1 − P) 获得 Z，就应当严格优于以概率 P 获得 Y、并以概率 (1 − P) 获得 Z。
所有这些公理，既是一致效用函数的前提，也是它的推论。因此，一定可以证明：上面那些实验被试不可能对结果拥有一个一致的效用函数。而且确实如此，因为你不可能同时满足：
U ($24,000) > (33/34) × U ($27,000) + (1/34) × U ($0)
0.34 × U ($24,000) + 0.66 × U ($0) < 0.33 × U ($27,000) + 0.67 × U ($0)。
这两个式子在代数上彼此不相容，不论 U 是什么都一样，所以阿莱悖论和金钱的边际效用递减毫无关系。
Maurice Allais 起初其实是在为实验被试所显露出来的偏好辩护——在他看来，这个实验揭示的是传统效用观念中的缺陷，而不是人类心理中的缺陷。毕竟那可是 1953 年，启发式与偏差运动还要再过二十年左右才真正开始。Allais 认为，他的实验不过是在表明：独立性公理在现实生活中显然不是个好主意。
（贝叶斯决策理论真是何其天真，何其愚蠢，何其简单化啊……）
拥有 $24,000 这件事的确定性，总该算点什么吧。你能感觉到那种差别，不是吗？那种踏实的安心感？
（我开始把这种东西看作「朴素哲学实在论」：仿佛我们的直觉会直接暴露出真理，告诉我们究竟哪些策略更明智，好像「1A 优于 1B」是某种可被直接感知到的事实。直觉直接暴露的是人类认知功能的真相，而只有在我们反过来审视这些认知功能本身之后，它才会间接地暴露出关于理性的真相。）
「可得了吧，」你说，「偏离一点贝叶斯之美，真的有那么糟糕吗？」好吧，所以被试们并没有遵循 von Neumann 和 Morgenstern 那样的人所推崇的那条整洁小巧的「独立性公理」。可是谁规定事情就必须整整齐齐呢？
如果优雅会让我们承担自己不想承担的风险，那我们又何必为优雅而烦恼？期望效用告诉我们，我们应该给某个结果赋上某种数值，然后把这个数值乘以该结果发生的概率，再把这些乘积加起来，如此等等。好吧，可我们为什么非得这么做？为什么不干脆另外编造一套更讨喜的规则呢？
只要离开贝叶斯之道，就总要付出代价。这正是一致性与唯一性定理全部想说明的东西。
在这个例子里，如果一个行动者偏好 1A 胜过 1B，同时又偏好 2B 胜过 2A，那它引入的就是一种偏好反转——也就是其规划中的一种动态不一致性。你会变成一台金钱泵。
假设在中午 12:00，我掷一枚百面骰。如果骰子的点数大于 34，游戏就终止。否则，在 12:05，我会查看一个有 A 和 B 两个档位的开关。如果开关拨在 A，我就付给你 $24,000。如果开关拨在 B，我就掷一枚 34 面骰；除非掷出「34」，否则我付给你 $27,000，而若恰好掷出「34」，那我什么也不给你。
假设你偏好 1A 胜过 1B，同时又偏好 2B 胜过 2A，并且你愿意分别花 1 美分来满足这两个偏好。开关初始处于 A 档。在 12:00 之前，你花 1 美分让我把开关拨到 B 档。骰子结果是 12。在 12:00 之后、12:05 之前，你再花 1 美分让我把开关拨回 A 档。
于是，我就在这件事上赚走了你的 2 美分。如果你顺从自己的直觉，并把单纯的优雅斥为对整洁的无谓痴迷，那么，当你的那些便士被人从你手里拿走时，也别太惊讶……
（我认为，同一种未能按比例折扣小概率的情绪冲击的失败，也要为彩票现象负责。）
Maurice Allais, “Le Comportement de l’Homme Rationnel devant le Risque: Critique des Postulats et Axiomes de l’Ecole Americaine,” Econometrica 21, no. 4 (1953): 2, doi:10.2307/1907921; Daniel Kahneman and Amos Tversky, “Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk,” Econometrica 47 (1979): 263–292. ↩︎